傅立叶变换和小波分析

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无论是傅立叶变换还是小波变换，其实质都是一样的，既：将信号在时间域和频率域之间相互转换，从看似复杂的数据中找出一些直观的信息，再对它进行分析。由于信号往往在频域有比在时域更加简单和直观的特性，所以，大部分信号分析的工作是在频域中进行的。音乐——其实就是时/频分析的一个极好例子，乐谱就是音乐在频域的信号分布，而音乐就是将乐谱变换到时域之后的函数。从音乐到乐谱，是一次傅立叶或小波变换；从乐谱到音乐，就是一次傅立叶或小波逆变换。

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1、傅立叶变换
可以理解为：任意一条在实数域内有意义的曲线都可以分解为若干个正弦曲线的叠加。傅立叶变换与分形的原理其实是同源的，不要小瞧这个变换，它可能就是宇宙的一个最基本法则。换句通俗的话说就是：无论多么复杂的物质，都可以用几种简单的基本物质通过一定方式的组合来构成。小到分子原子，中到地形地貌，大到银河系宇宙，其实都是这样。
但是，傅立叶变换也有它的缺陷。由于正弦波是无限宽度的，这使得被分析的信号也需要具有从负无穷大到正无穷大都有意义的特性，所以傅立叶变换不能很好的处理一些局部信号。比如，一个在局部范围内有非0值而其余所有地方都等于0的函数，它的频谱会呈现出一幅相当混乱的状况。这时，频域的信号反而不如时域的直观，频谱分析变得很艰难。

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2、小波分析
为了克服傅立叶变换的这些缺陷，数学家和工程师们已经开发出若干种使用有限宽度基函数进行变换的方法。这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，这些有限宽度的波被称为“小波”（Wavelet）。基于它们的变换被称为“小波变换”（Wavelet transforms）。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法棗多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

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3、小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学的角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
    事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
    (1)小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
    (2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
    (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

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4、Gabor Filter（Gabor滤波器）
     
Gabor小波是小波集中的一种，公式见（下面的链接）。从外形上看，Gabor小波被封装在一个Gaussion分布的形状中，而且它的积分为零。如果要将Gabor filter在三维中显示出来，应该是下面这个样子，左边是实部（偶函数），右边是虚部（奇函数）。http://cs.ccnu.edu.cn/wjylwjyl/kjqy/paper/Recognition.htm
通过改变k的相位和波长，可以得到一组不同的Gabor滤波器。出于速度和效果的综合考虑，一般使用8个方向和5种频率，这样，一共可以产生5x8=40个不同的Gabor滤波器。对于大小为128x128的图象，最小和最大频率的波长分别为16和4个象素。

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5、Jet
将原始图像分别与每一个Gabor滤波器做卷积，会得到40个结果（注意，实部和虚部必须分开才能做卷积）。对于每一个输入的像素而言，则会产生40个输出的复数，我们将这40个复数按滤波器的顺序排列好，就是一个Jet.
如何做卷积？对于每个象素，将两个图像错开一定的距离放在一起，将重叠的像素相乘后累加。当然别忘了还有个经典公式：时域卷积 = 频域相乘。只要事先将图象变换到频域，相乘后，再反变换回时域即可。好在老外早在几十年前就发明了快速傅立叶变换算法（FFT），将原本是N*N的计算量减少到了N/2*log2N，使得信号在频域和时域中的转换变得十分快速。